各ストアのトップページなどにはアクセスできない人やできても、ダウンロードする時にエラーがでるなど、iTunes Storeの機能が止まっているようです。

この障害は世界各国で起こっているそうですが、システムステータスのページでは特に問題があるとは表示されていません。
なお、イギリスのカスタマーサービスに問い合わせたユーザーによると、Appleもこの問題を認識していると答えているようで、現在復旧作業に取り組んでいるようです。
【更新】
9to5Macによると、Appleはシステムステータスページを更新していて、今のところiTunes Storeはまだ復旧していないようです。なお、障害時間は5時間を超えています。
【更新2】
CNBCによると、Appleは声明を発表していて、障害について正式に謝罪をしているそうです。また、原因はApple内部のDNSエラーによるもので、我々はできるだけ早くサービス復旧できるように作業を進めているとしています。
【更新3 5:43】

Appleは、システムステータスページを更新していて、5時過ぎに障害が復旧したようで、確認してみたところまだ一部重たい状態にあるストアなどがあるようですが、App Storeでアプリはダウンロードなどができるようになっています。
なお、この障害でiTunes StoreやApp Storeなどに約11時間にわたり影響が出たことになります。